אינפי 1 פרופ י. בנימיני אביב תש ע

Transcript

1 אינפי 1 פרופ י. בנימיני אביב תש ע ברשימות ראשוניות אלה יש בוודאי שגיאות רבות: טעויות דפוס, אי בהירויות ואפילו טעויות מתמטיות. תודתי נתונה מראש לכל מי שיעביר אלי הערות ותיקונים מכל סוג. בכתיבת הרשימות נעזרתי ברשימות קודמות של פרופ אריה לייזרוביץ.

2 תוכן עניינים 1 מבוא סימונים ומושגי יסוד אינדוקציה מספרים רציונליים ואי רציונליים קבוצות חסומות גבולות של סדרות של מספרים ממשיים 9.1 גבולות תכונות סדר של גבולות סדרות מונוטוניות תת סדרות סדרות קושי הלמה של היינה בורל קבוצות פתוחות וסגורות גבולות של פונקציות פונקציות גבולות של פונקציות וריאציות על הנושא תכונות סדר של גבולות תנאי קושי פונקציות רציפות הגדרה ותכונות יסודיות מיון נקודות אי רציפות פונקציות רציפות בקטע סגור רציפות במידה שווה גזירות 5 51 הגדרות ותכונות בסיסיות גזירה של פונקציה מורכבת הנגזרת של הפונקציה ההפוכה נגזרות מסדר גבוה תכונות של פונקציות גזירות 5. 1

3 נקודות קיצון מקומי משפט רול ומשפט לגרנז תנאי מספיק לנקודת קיצון בעיות מינימום מקסימום ואי שוויונים כלל לופיטל כלל לופיטל סדרי גודל וקצב התכנסות של פונקציות קמירות פונקציות קמורות שרטוט גרפים הוכחת אי שוויונים באמצעות קמירות משפט טיילור קירוב לינארי נוסחת טיילור שיטת ניוטון רפסון מספרים רציונליים, אלגבריים וטרנסצנדנטיים 5.7

4 פרק 1 מבוא 1.1 סימונים ומושגי יסוד בקורס זה נעסוק רק בקבוצות של מספרים ממשיים. אנו מסמנים קבוצה ע י סוגריים משולבים } }. לפעמים ניתן לכתוב באופן מפורש מיהם איברי הקבוצה, למשל {10,3,0}, אך בד כ נציין את אבריה ע י ציון תכונה המאפיינת אותם. למשל, הקבוצה {0 > x x} : הינה קבוצת כל המספרים החיוביים. אם a שייך לקבוצה A נסמן זאת ע י a A (ואם איננו שייך ל A נסמן זאת ב a). A נשתמש בסימונים הבאים לקבוצות של מספרים שבהן נפגוש לעתים קרובות: R קבוצת כל המספרים הממשיים..{x : a < x < b} קטע פתוח (ללא הקצוות), כלומר (a, b).{x : a x b} קטע סגור (עם הקצוות), כלומר [a, b].(a, b] = {x : a < x b} קטע חצי סגור (או חצי פתוח), למשל [a, b) או (a, b].(a, ) = {x : a < x < } קרן פתוחה, למשל (, a) או (a, ).[a, ) = {x : a x < } קרן סגורה, למשל (, a] או [a, ) N קבוצת המספרים הטבעיים, כלומר {...3,1}.,.{ a b Z קבוצת המספרים השלמים, כלומר...}, 1, 0, 1,,.{..., : a, b Z, b 0} קבוצת המספרים הרציונליים, כלומר Q יש גם מספרים אי רציונליים, כלומר כאלה שאי אפשר להציגם כשבר שבו המונה והמכנה שלמים. אפשר להוכיח כי π ו e אינם רציונליים. בסעיף 1.3 נראה ש הוא אי רציונלי. { x x 0. x = הערך המוחלט של מספר x מוגדר ע י x x 0 המשמעות הגיאומטרית של x היא המרחק של x מ 0. באופן כללי יותר a x הוא המרחק בין x ל.a למשל, אי השוויון x a < δ אומר שהמרחק של x מ a קטן מ,δ כלומר, δ).x (a δ, a + 3

5 טענה.[אי שוויון המשולש] לכל x, y R מתקיימים אי השוויונות y x + y x + ו. x y x y הוכחה. אי השוויון הראשון ברור כאשר ל x ו y יש אותו סימן (ולמעשה יש אז שוויון). אם יש להם סימנים הפוכים אז באגף שמאל יש צמצום, ואילו באגף ימין אין, ולכן מתקיים אי שוויון חריף. אי השוויון השני מתקבל מהראשון כי x = (x y) + y x y + y עפ י אי השוויון הראשון, וכעת נעביר אגפים. n הוא סימון לסכום.a a n לדוגמא, הסכום של סדרה גיאמטרית n. i=0 aq i = a qn+1 1 q 1 a i i=1 סופית עם 1 q ניתן ע י 1. אינדוקציה למספרים הטבעיים יש התכונה החשובה שאם A N מקיימת ש A 1 ואם לכל n A גם,n + 1 A אז.A = N מכאן מתקבל עקרון האינדוקציה: אם טענה מסויימת נכונה עבור = 1 n ומקיימת שמתוך נכונות הטענה ל n נובעת נכונותה גם ל + 1 n, אז הטענה נכונה לכל מספר טבעי. ואמנם, מהתנאי נובע שהקבוצה A של כל ה n ים עבורם הטענה נכונה חייבת להיות N כולה. כדוגמא להוכחה באינדוקציה נוכיח את נוסחת הבינום של ניוטון, ונתחיל בסימונים: נסמן ב j! = 1... j את מכפלת j הטבעיים הראשונים (ונסמן גם = 1.(0! ) (. (זה מספר תת הקבוצות בנות k אברים מתוך קבוצה n k = n! k!(n k)! נסמן בת n אברים).. (a + b) n = n j=0 ( ) n a j b n j j משפט.[נוסחת הבינום] הוכחה. הטענה בוודאי נכונה ל = 1 n. נניח נכונותה ל n ונוכיח ל + 1 n. נציג (a + b) n+1 = (a + b)(a + b) n = (a + b) = n j=0 ( ) n a j+1 b n j + j n t=0 n ( ) n a j b n j j j=0 ( ) n a t b n+1 t t 4

6 n+1 ( ) n ( ) (a + b) n+1 = a t b n+1 t + t 1 t=1 t=0 במחובר הראשון נציב j, + 1 = t ונקבל כי n t=0 ( ) n a t b n+1 t t n+1 ( ) n + 1 כמבוקש. ונראה שסכום זה הוא a t b n+1 t t ( ( וזה מתאים n n) ועבור + 1 n t = את = 1 n 0) עבור = 0 t מקבלים ב ( ) 1 = למבוקש. עבור + 1 n < t < 0 מקבלים ב ( ) כמקדם של a t b n+1 t את ( ) n + t ( n t 1 ) = = n! t!(n t)! + n! (t 1)!(n t + 1)! n![n + 1 t + t] t!(n + 1 t)! = n!(n + 1) t!(n + 1 t)! = ( ) n + 1 t 1.3 מספרים רציונליים ואי רציונליים סוף שעה טענה. הוא מספר אי רציונלי. הוכחה. נוכיח בדרך השלילה. בשיטה זו אנו מניחים כי הטענה איננה נכונה ומגיעים לסתירה לאחד הנתונים או לאחת המסקנות שהסקנו מהנתונים במהלך ההוכחה. משהגענו לסתירה, המסקנה היא כי הנחת השלילה לא יכולה להיות נכונה ולכן הטענה עצמה היא אכן נכונה. נניח אם כן בשלילה כי רציונלי ונרשום אותו כשבר = a b כאשר,a b שלמים. נעביר אגפים ונעלה בריבוע ונקבל כי a. = b אך בפירוק לגורמים של אגף שמאל הגורם יופיע מספר פעמים זוגי (כפול ממספר הפעמים שיופיע כגורם של a), ואילו באגף ימין הוא יופיע מספר פעמים איזוגי! כך הגענו לסתירה, והמסקנה היא שהנחת השלילה איננה נכונה ו אי רציונלי. משפט. הן המספרים הרציונלים והן האי רציונלים הם צפופים ב R, כלומר בין כל שני מספרים ממשיים יש גם מספרים רציונליים וגם אי רציונליים. הוכחה. נראה תחילה שבין כל שני מספרים ממשיים קיים מספר רציונלי. נקבע שני מספרים ממשיים שונים כלשהם b. > a אז המספר b a הוא מספר חיובי > 1.n ע י הכפלה במכנה נקבל כי > 1 na,nb כלומר b a ונבחר n טבעי כך ש 5

7 המרחק בין nb ו na גדול מ 1, ולכן קיים מספר שלם m המקיים.na < m < nb,a < m n כלומר, מצאנו כשנחלק כעת את שני אגפי אי השוויון ב n נקבל כי < b m n בין a ל b כמבוקש. מספר רציונלי ההוכחה עבור מספר אי רציונלי נובעת מהמקרה של מספר רציונלי: נמצא m אינו n m.a < אך a n < b ואז < m n < b m n כך ש מספר רציונלי =, כלומר ש nk lm היינו מקבלים ש m n = k l רציונלי, כי אילו היה רציונלי, אך אנחנו כבר יודעים שהוא אינו רציונלי! 1.4 קבוצות חסומות הגדרה. (i) קבוצה A R נקראת חסומה מלמעלה (או חסומה מלעיל) אם קיים מספר ממשי M כך שלכל x A מתקיים x. M כל מספר M כזה נקרא חסם מלעיל של A. באופן אנלוגי מגדירים קבוצה חסומה מלמטה (מלרע) וחסם מלרע. (ii) קבוצה A נקראת חסומה אם היא חסומה גם מלמעלה וגם מלמטה, כלומר כשיש מספרים M ו m כך ש m x M לכל x A (או, באופן שקול, אם קיים מספר.(x A לכל x M כך ש M > 0 (iii) חסם המלעיל הקטן ביותר של קבוצה A נקרא הסופרמום (או החסם העליון) של A, ויסומן ע י,sup A או.sup x A x אם הסופרמום שייך לקבוצה A הוא נקרא גם המקסימום של A, ויסומן ע י max A או.max x A x באופן דומה האינפימום (או החסם התחתון) של A הוא חסם המלרע הגדול ביותר של A, ואם האינפימום שייך לקבוצה A הוא נקרא גם המינימום של A. הסימונים הם min x A x,inf A וכדומה. דוגמאות. (i) קטע חצי סגור [b I =,a) הינו קבוצה חסומה. כל מספר M b הוא חסם מלעיל של I וכל מספר m a הוא חסם מלרע. החסם העליון הוא b והתחתון הוא.a המכסימום מתקבל,,max{x : x I} = b אך אין ל I מינימום. (ii) קבוצת המספרים הטבעיים חסומה מלמטה, אך אינה חסומה מלמעלה: = 1 N,min אולם לא קיים ל N סופרמום. הלמה הבאה היא תרגום ישיר להגדרת החסם העליון למה. M = sup A אםם מתקיימים שני התנאים הבאים:.x A לכל x M (i).x 0 > M ε כך ש x 0 A קיים ε לכל > 0 (ii) באופן דומה, m = inf A אםם y m לכל y A וגם לכל > 0 ε קיים y 0 A כך ש.y 0 < m + ε הוכחה. נוכיח רק שהסופרמום מקיים את שני התנאים (והוכיחו כתרגיל שאם M מקיים (i) ו (ii) אז הוא אכן החסם העליון של A). אם M חסם עליון, הוא בוודאי חסם מלעיל, ולכן x M לכל x. A 6

8 נקבע כעת > 0 ε. עפ י הגדרת החסם העליון M כחסם מלעיל הקטן ביותר, נקבל ש M, ε הקטן ממש ממנו, איננו יכול להיות חסם מלעיל. כלומר, יש.x 0 > M ε כך ש x 0 A כאשר הגדרנו חסם עליון ותחתון הנחנו באופן סמוי כי לכל קבוצה חסומה מלמעלה אכן קיים חסם מלעיל שהינו הקטן ביותר (ובאופן אנלוגי עבור החסם התחתון). עובדה זו אכן נכונה, אך כדי להוכיח אותה צריך להגדיר תחילה את המספרים הממשיים באופן מתמטי מדוייק, ואנו לא נעשה זאת כעת (אולי נעשה זאת בסוף הסימסטר). לכן נתייחס לעובדה זו כ אקסיומה. אקסיומת השלמות: לקבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים שהיא חסומה מלמעלה (מלמטה) קיים סופרמום (אינפימום). כדי להסביר את הטרמינולוגיה הזו, נתבונן במספרים הרציונליים כאוסף של נקודות על הישר הממשי שמשאירות חורים רבים (שהינם המספרים האי רציונליים). האקסיומה אומרת שהמספרים הממשיים הם מערכת שלמה אין בה חורים כאלה. כדוגמא נסתכל בקבוצה } < B = {x Q : x החלקית לקבוצת המספרים הרציונליים. החסם העליון שלה הוא, שהוא אי רציונלי, ולכן אין ל B סופרמום במסגרת המספרים הרציונליים. ה חור הזה נסתם כשמסתכלים במספרים הממשיים כולם. נביא כעת דוגמא לשימוש באקסיומת השלמות. בסעיף 1.3 הראנו ש אירציונלי. אך מנין אנחנו יודעם שיש בכלל שורש ל? כלומר, מדוע קיים מספר > 0 x כך ש = x? למעשה, כפי שנראה במשפט הבא, זו בדיוק אקסיומת השלמות שמבטיחה שאכן קיים! משפט. לכל מספר חיובי > 0 a ולכל מספר טבעי > 0 n יש מספר חיובי אחד ויחיד > 0 b כך שמתקיים b n = a (ונסמן אותו ב.(b = n a הוכחה. ברור שאין יותר מ b אחד כזה כי אם גם > 0 c b מקיים c, n = a ונניח למשל ש,b < c אז נקבל שגם a = b n < c n = a וזה לא ייתכן. נסמן כעת a} A = {t > 0 : t n < ונראה ש A קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל. עפ י אכסיומת השלמות נקבל אז שיש ל A חסם עליון. נסמן b = sup A ונראה שזהו ה b המבוקש ע י כך שנראה ש b n a וכן b. n a = 1 t ואז < 1 t < 0 גורר כי t n < t ולכן min (1, a) נבחר :A 0 < t n < t 1 a < a כלומר,.t A A חסומה מלעיל: נסמן (a M = max,1) ונראה ש M הוא חסם מלעיל של.A ובאמת, אם 1 t אז בוודאי ש,t M ואם t A מקיים > 1 t אז.t < t < a M סוף שעה 4 7

9 :b n a נניח בשלילה כי b n < a ונמצא > 0 ε כך שגם.(b + ε) n < a זה יאמר ש,b + ε A ואז b + ε > b יביא לסתירה להנחה ש b הוא בכלל חסם מלעיל של.A ניתן כעת את ההוכחה עבור = n. המקרה הכללי מופיע באותיות קטנות בהמשך. ) ( min < ε <.0 ואז < 1 ε גורר כי,ε < ε ולכן 1, a b נבחר 1+b (b + ε) = b + bε + ε = b + ε(b + ε) < b + ε(b + 1) < b + a b (b + 1) = a b + 1 1, ( min < ε <,0 ואז < 1 ε גורר כי ε j < ε לכל > 1.j וכעת נחשב ( n (b + ε) n = b n + nb n 1 ε + b ) n ε ε n a b n ) ההוכחה ל n כללי: נבחר nb n בעזרת נוסחת הבינום = b n + ε(nb n ε n 1 ) b n + ε(nb n ) < b n + (nb n 1 a b n ) nb n = a b: n a נניח בשלילה כי b n > a ומצא חסם מלעיל M קטן מ b, בסתירה לכך ש b הוא החסם העליון של A. הפעם ניתן ההוכחה רק עבור = n, ונשאיר כתרגיל את ההוכחה ל n כללי. נקבע,t A ואז t b ונציג b t = b t b + t > b a b t < b b a כמבוקש. b ולכן = M < b לסיום נזכיר את חוקי החזקות עם מעריכים רציונליים. אם > 0 x נסמן ב x 1 n את. n x אם q = m n רציונלי כך ש > 0 n,m, נגדיר x q = n x m = (x m ) 1 n = 1 q x. בהגדרות אלה יתקיימו חוקי החזקה הרגילים, x ואם q שלילי, נגדיר q כלומר,(x p ) q = x pq ; x p+q = x p x q ; x p y p = (xy) p וכו. בהמשך נגדיר גם את x α עבור α ים ממשיים באופן שחוקי החזקה ימשיכו להתקיים. 8

10 פרק גבולות של סדרות של מספרים ממשיים סדרה הינה אוסף אינסופי מסודר של מספרים: יש איבר ראשון, איבר שני, איבר שלישי וכולי. (באופן פורמלי ניתן להתבונן על סדרה כעל פונקציה מהמספרים הטבעיים למספרים הממשיים). אנו נסמן סדרה ע י.}.., = 1, n,{a n : או m=1,{b m} או j=1,(c j ) או ) k.(α ייתכן שתפגשו גם סימונים נוספים. איברי הסדרה יכולים להינתן באמצעים שונים. הדרך הישירה היא באמצעות נוסחה מפורשת, כגון: = 1 j x לכל,j או a n = n לכל,n או m] b m = [ לכל m. דרך אחרת היא לתת כלל שלפיו הסדרה מוגדרת. למשל, a n הינו הספרה ה n ית אחרי הנקודה בפיתוח העשרוני של π. אפשרות אחרת היא להציג את הסדרה בעזרת נוסחת נסיגה. למשל, סדרת פיבונאצ י מוגדרת ע י.n לכל 3 a n = a n 1 + a ו n a 1 = a = 1 לחישוב a n עפ י נוסחה זו, עלינו לחשב תחילה את האברים הקודמים לו, ורק אז ניתן לבצע את הצעד הנוסף. תרגיל: הראו באינדוקציה שאברי הסדרה ניתנים גם ע י הנוסחה המפורשת [( 1 + ) n ( 5 1 ) n ] 5 /.a n = 5.1 גבולות הגדרה. נאמר ש a הוא הגבול של הסדרה 1=n a}, n } אם לכל > 0 ε קיים N טבעי כך שלכל n > N מתקיים. a n a < ε נסמן זאת ע י lim n a n = a או.a n a n אם לסדרה אין גבול נאמר שהיא מתבדרת. 9

11 אם lim n a n = a נאמר גם שהסדרה שואפת, או מתכנסת, ל a. ולפעמים לא נציין בכתיבה כי n ונכתוב פשוט lim a n = a או.a n a הערות. (i) שימו לב כי שינוי של מספר סופי מאברי הסדרה לא משפיע על התכנסות הסדרה, או על ערך הגבול שלה. ובאופן מדוייק: אם a n a ואם הסדרה b n מקיימת שיש M כך ש b n = a n לכל,n > M אז גם.b n a (ii) הדרישה ש N טבעי אינה חיונית, ולפעמים לא נקפיד על כך. (אם למשל.(n אז זה בוודאי מתקיים גם לכל > 348,n לכל >.4 a n a < ε סוף שעה 6 1.lim n n כדי להוכיח זאת נקבע > 0 ε כלשהו, וצריך דוגמאות. (i) 0 =. 1 n אי השוויון הזה להוכיח שקיים N טבעי כך שלכל n > N מתקיים < ε 0 n > 1 ε ולכן, אם נבחר + 1 ] ε N = [ 1 (או כל N אחר המקיים שקול לאי השוויון.n > N אז אי השוויון הדרוש מתקיים לכל,(N > 1 ε ש n 1 n 1 n 1 = 1/n < ε כלשהו, ואז התנאי ε כי נקבע > 0.lim n n = 1 (ii).n = [ 1 ε ] ולכן שוב נבחר + 1,n > 1 ε מתקיים אםם (iii) אם < 1 q אז = 0 n.lim n q כי נקבע > 0 ε כלשהו, וצריך להוכיח שקיים N טבעי כך שלכל n > N מתקיים. q n 0 = q n < ε אם 1 ε אז אי שוויון זה נכון לכל n ולכן נוכל לבחור = 1 N. נטפל אם כך במקרה < 1 ε, ונתבונן ב שרשרת השקילויות q n < ε ln q n < ln ε n ln q < ln ε n > ln ε ln q (הכיוון של אי השוויון האחרון התחלף מכיון ש < 1 q ולכן < 0 q.(ln ולכן n > N אז לכל,( ln ε ln q N = [ ln ε (או כל N הגדול מהביטוי ln q אם נבחר + 1 ] מתקיים אי השוויון הרצוי. = n.a ואמנם, נעריך a n 1 = n n + 1 n + 3n 1 1 = n n + n 3n + 1 4n + 6n 5n 3 = 4n + 6n < 5n 4n = 5 4n n n+1 n +3n 1 1 (iv). 5 4n < ε מתקיים ש n > N ולכן לכל,N > 4 5ε אז N = [ 4 5ε] ואם ניקח + 1 (v) לסדרה a n = ( 1) n אין גבול. ננסח תחילה במדויק את הטענה שלסדרה ) n a) אין גבול, ונתחיל מהניסוח של הסדרה a n אינה מתכנסת למספר a. בלשון,ε N זה אומר שקיים איזשהו. a n a באופן ש ε 0 n > N טבעי יש N כך שלכל ε 0 אם לסדרה a n אין גבול, אז לכל מספר a הסדרה ) n a) אינה מתכנסת ל a, ולכן נוכל כעת לנסח במדויק: לסדרה a n אין גבול אם לכל מספר a יש > 0 0 ε כך שלכל N יש n > N באופן ש. a n a ε 0 10

12 פשוטה זו ε 0 (בדוגמא.ε 0 = 1 ניישם זאת כעת לדוגמא. נקבע a ונקח, למשל, אינו תלוי כלל בערך של a, אך בדר כ יש להתחשב בבחירת a). נניח, בלי הגבלת הכלליות, כי 0,a ואז בהנתן איזשהו N נבחר n > N זוגי, ואז = 1 n a ובוודאי. a n a = 1 a 1 > 1 שיתקיים הגדרה. יהי > 0.ε לקטע ε) (a ε, a + נקרא סביבת ε של הנקודה.a סביבה של a היא סביבת ε שלה עבור איזשהו > 0 ε, ובאופן כללי יותר, כל קטע פתוח המכיל את a. בלשון סביבות ההגדרה של התכנסות היא: a n a אם לכל > 0 ε כל איברי הסדרה, פרט אולי למספר סופי מהם, נמצאים בסביבת ε של a. או, באופן שקול, כל סביבה של a מכילה את כל אברי הסדרה פרט אולי למספר סופי מהם. משפט. לסדרה מתכנסת יש גבול יחיד. הוכחה. נניח כי a n A וגם,a n B ונראה כי.A = B נקבע איזשהו > 0.ε עפ י הגדרת הגבול יש N 1 כך שלכל n > N 1 מתקיים, a n A < ε ויש N כך שלכל n > N מתקיים. a n B < ε ולכן לכל } n > N = max{n 1, N מתקיימים שני אי השוויונים. A ε < a n < A + ε ; B ε < a n < B + ε בפרט A ε < B +ε ו,B ε < A+ε ולכן, ε < A B < ε או. A B < ε אך ε היה מספר חיובי כלשהו, לכן בהכרח A. = B (אם A, B היינו יכולים A B ε = ולקבל סתירה). לקחת, למשל, ננסח את ההוכחה גם בלשון סביבות. נניח כי a n A ויהי A. B תהיינה,I J סביבות זרות של,A B בהתאמה. היות ש a n A הרי שכל אברי הסדרה, פרט אולי למספר סופי מהם, נמצאים ב I. היות ש J זר ל I יכולים להיות בה לכל היותר מספר סופי של אברי הסדרה. לכן a. n B הגדרה. נאמר שהסדרה a n חסומה מלעיל אם יש M כך ש a n M לכל n. באופן דומה מגדירים סדרה חסומה מלרע. סדרה היא חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע או, באופן שקול, אם יש M כך ש a n M לכל n. סוף שעה 8 משפט. כל סדרה מתכנסת היא חסומה. הוכחה. נניח כי a, n A ואז עפ י הגדרת הגבול יש N כך שלכל n > N מתקיים + 1 A.A 1 < a n < ולכן לכל n מתקיים. min{a + 1, a 1, a,..., a N } a n max{a + 1, a 1, a,..., a N } 11

13 איך מחשבים גבול של סדרה? אין, כמובן, שיטה כללית, אך לפעמים זה אפשרי. המקרה הפשוט ביותר הוא כאשר הסדרה מתקבלת מסדרות אחרות, שגבולותיהן ידועים, ע י פעולות אריתמטיות. במקרה כזה מחשבים את הגבול ע י ביצוע אותן פעולות אריתמטיות על הגבולות: משפט. [אריתמטיקה של גבולות] אם } n {a ו } n {b שתי סדרות המקיימות lim a n = a ו.lim b n = b אז הגבולות הבאים קיימים וניתנים ע י הנוסחאות המתאימות:.α R לכל lim αa n = αa (i).lim(a n + b n ) = a + b.lim a n b n = ab (ii) (iii).lim an b n = a b ו פרט למספר סופי של n ים, b n אז 0 b אם 0 (iv). n + 3n 4 5n + n + 7 = n 4 n 5 + n + 7 n 1 5 דוגמא. הוכחה. נפנה להוכחת המשפט.. αa n αa < ε מתקיים n > N כך שלכל N וצריך למצוא,ε יהי > 0 (i) אם = 0 α אז = 0 αa.αa n = אם 0 α נשתמש בכך ש,a n a ונמצא N כך ש < a a n לכל ε α. αa n αa = α a n a < α.n > N ולכל n כזה יתקיים ε α = ε יהי > 0,ε ונמצא N כך שלכל n > N מתקיים. (a n + b n ) (a + b) < ε שני אי השיוויונות. a n a < מתקיים ε/ n > כך שלכל N 1 ולכן יש N 1 a n a. b n b < מתקיים ε/ n > כך שלכל N ולכן יש N b n b (ii) נגדיר כעת ),N = max (N 1, N ואז לכל n > N יתקיימו בבת אחת, ולכן. (a n + b n ) (a + b) a n a + b n b < ε + ε = ε (iii) נקבע > 0 ε והפעם נכתוב את ההוכחה כפי שבאמת חושבים כשניגשים לבעיה כזו. נקבע > 0 η (שייבחר מאוחר יותר), ואז. a n a < η מתקיים n > כך שלכל N 1 ולכן יש N 1 a n a. b n b < η מתקיים n > כך שלכל N ולכן יש N b n b 1

14 a n b n ab = (a n a)b n + (b n b)a וכעת נציג ונשים לשב שנוכל לשלוט בגודל של a a n ושל b b, n כי שניהם שואפים לאפס, ובגודל של b, n כי ע ס משפט.1 הסדרה b n חסומה, כלומר יש M כך ש.n לכל b n < M ובאופן פורמלי, אם ניקח כעת ) n > N = max (N 1, N נוכל להשתמש בכל אי השוויונות ונקבל. a n b n ab a n a b n + b n b a ηm + η a = η(m + a ) וזה הזמן לקשר את ההערכה שקבלנו עם ה ε הנתון: את η נבחר כך ש <,η ואז לכל n > N יתקיים a n b n ab η(m + a ) < ε כמבוקש. ε M+ a an מוגדר רק כאשר 0 n b, וההנחות של המשפט אינן מבטיחות b n (iv) המספר שזה אכן קורה לכל n. אך כשמדברים על גבול מספר סופי של אברי הסדרה איננו משנה, ולכן כשלב ראשון נראה כי 0 n b פרט אולי למספר סופי של n ים. b, b n b < כלומר, ואמנם,b n b ולכן יש N 1 כך שלכל n > N 1 מתקיים.b n ובפרט 0,0 < b < b n < 3 b. an b n a b נעבור כעת להוכחה ש נקבע > 0 ε ונראה שיש N כך שאם n > N אז. a n a ε( b + a ) b n b < b היות ו ε הוא מספר חיובי שרירותי, אז גם ε( b + a ) הוא מספר חיובי b שרירותי, ולכן זה יוכיח את הדרוש. (באופן פורמלי, אפשר בהוכחה הבאה להחליף, ואז היינו מסיימים עם ε כפי שאנחנו רגילים). b ε ( b + a ) בכל מקום את ε ב ובאמת, נבחר N כך שלכל n > N מתקיים, a n a < ε ונבחר N 3 כך שלכל n > N 3 מתקיים, b n b < ε ונציג. a n a b n b = a nb ab n = (a n a)b + a(b b n ) b n b b n b נגדיר ) 3,N = max (N 1, N, N ואז אם n > N אז יתקיימו כל אי השיוויונים, ולכן. a n a b n b a n a b + a b b n ε b + a ε ε( b + a ) < b n b b b = b הערה. נשים לב שהמשפטים ההפוכים אינם נכונים. למשל, אם a, n + b n L אין זה אומר ש a n a ו b n b כאשר.a + b = L 13

15 כדוגמא נגדית אפשר לקחת איזשהי סדרה a n שאינה מתכנסת ו b, n = a n ואז = 0 n a n + b לכל n בלי שהסדרות a n ו b n מתכנסות בכלל. משפט. אם a n סדרה חסומה ו 0 n b אז 0 n.a n b הוכחה. נניח ש a n M לכל,n ויהי נתון > 0.ε נבחר N כך ש b n < ε M ε. a n b n < M M לכל,n > N ולכל n כזה יתקיים = ε.x לכל sin x כי 1 sin n n לדוגמא, 0 ( lim אם לכל הגדרה. נאמר שהסדרה a n שואפת לאינסוף (ונסמן n a או n a n = a מספר M יש N כך שאם n > N אז.a n > M באופן דומה נגדיר n.a אם n a או n a נאמר לפעמים שהסדרה מתכנסת במובן הרחב..a n = 1 n אך ( 1) n n אינה מתכנסת לדוגמא, n,a n = או n+1 אפילו במובן הרחב a n משפט. (i) אם n a אז 0 a n (ii) אם 0 n a וכן > 0 n a לכל n (פרט אולי למספר סופי של n ים) אז אם < 0 n a לכל n אז על סמך הנתון, יש N כך שלכל n > N מתקיים הוכחה. (i) יהי > 0.ε. 1 a n < ε כזה n ולכל, an > 1 ε את הוכחת (ii) נשאיר כתרגיל. נשים רק לב שחשוב שהחל ממקום מסוים יש 1 a n = ( 1) n n אך,a n אז 0 a n = ( 1)n n ל a ים n סימן קבוע. אם ניקח למשל איננה סדרה מתכנסת אפילו במובן הרחב. חוקי הארימטיקה בדר כ אינם תקפים כשהגבולות אינסופיים, ויש לחשב את הגבול בצורה אחרת דוגמא.. 1 a n ( n + 1 n)( n n) (n + 1) n n + 1 n = = 0 n + n + 1 n + 1 n כי המכנה שואף לאינסוף. סוף שעה 10 14

16 . תכונות סדר של גבולות משפט. תהיינה a n ו b n שתי סדרות המקיימות.b n b,a n a אם a < b (אי שוויון חריף) אז קיים N כך שלכל n N מתקיים.a n < b n באופן שקול, אם b n b,a n a ואם קיים N כך שלכל n N מתקיים,b n a n אז.b a הוכחה. הערות. (i) שימו לב כי אם יש רק אי שוויון חלש a b הטענה אינה נכונה. כי אם a = b אז אין שום מגבלה על היחסים בין a n ל b. n ניקח למשל = 0 n a.b n = ( 1)n n לכל n ו (ii) מהמשפט נובע שהגבול של סדרה נקבע באופן יחיד, כי אם a n a וגם.a = b ולכן,b a וגם a b ונקבל כי b n = a n אז ניקח a n b משפט. [משפט הסנדוויץ ] תהיינה b n,a n ו c n סדרות המקיימות a n b n c n החל ממקום מסויים, כך ש.lim a n = lim c n = L אז גם הגבול lim b n קיים וערכו.L אם.lim b n = אז גם lim a n = ו a n b n היות ש הוכחה. נוכל להניח כי אי השוויונים מתקיימים לכל n, ונקבע > 0 ε. N כך n > N 1 מתקיים a n L < ε ונמצא N 1 כך שלכל a n, c n L נמצא b n n > N מתקיים. c n L < ε אם ) n > N = max (N 1, N נקבל כי שלכל מקיים L ε < a n b n c n < L + ε. 1 < n < n 1 כמבוקש. lim כי n 1 = דוגמאות. (i) lim n כי 1 k=1 = 1 n +k (ii) 1 n n + 1 n k=1 1 n + k n n + n 1 15

17 ,h n כאשר > 0 n n = 1 + h n ואם נציג,n לכל n n כי > 1.lim n n = 1 (iii) עלינו להוכיח כי 0 n h. ובאמת, נעלה את שני האגפים של השוויון שרשמנו בחזקת n ונקבל (עפ י נוסחת הבינום) כי n = (1 + h n ) n = 1 + nh n + ( ) n h n h n n > ( ) n h n = n(n 1)h n. < n < h 0. אך אגף ימין שואף ל 0 ולכן עפ י משפט או n 1,h n < n 1 ולכן הסנדוויץ גם 0 n.h n > a לכל 1 n a < n n אז a כי אם 1.a לכל > 0 n a 1 (iv) ומשתמשים ב (iii) ובמשפט הסנדוויץ., n b עפ י מה שכבר הוכחנו 1.b ואז > 1,b = 1 a אם < 1 a <,0 נרשום ולכן גם 1 n. n a = 1 b.3 סדרות מונוטוניות הגדרה. נאמר שהסדרה a n מונוטונית לא יורדת (או מונוטונית עולה) אם 1+n a n a לכל n, ושהיא מונוטונית עולה ממש אם 1+n a n < a לכל n. באופן דומה מגדירים סדרה לא עולה וסדרה יורדת. נקרא לסדרה מונוטונית אם היא מקיימת אחד מכל התנאים האלה. סדרה מונוטונית לא יורדת היא בוודאי חסומה מלרע כי a 1 a n לכל n. באופן דומה סדרה לא עולה היא חסומה מלעיל. סדרה מונוטונית אינה בהכרח חסומה מהכיוון השני, למשל, a n = n עולה ואינה חסומה מלעיל. המשפט החשוב הבא שונה באופן מהותי ממשפטים על גבולות שראינו עד עתה. במשפטים קודמים כל טענה על קיום גבול היתה מלווה בנוסחה לחישובו. למשל, אחד מחוקי האריתמטיקה של גבולות אמר שאם a n a ו b n b אז ) n lim(a n + b קיים וערכו הוא a. + b המשפט הבא הוא הראשון המבטיח שגבול מסויים קיים (בתנאים מתאימים) בלי לתת נוסחה, או דרך מעשית כלשהי, לחישובו. משפט. סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת (וסדרה מונוטונית שאינה חסומה מתכנסת במובן הרחב: ל + אם היא עולה, ול אם היא יורדת). הוכחה. נניח, בה כ, כי הסדרה a n לא יורדת, נסמן ב M את החסם העליון שלה, ונראה כי.a n M יהי > 0 ε. על פי הגדרת החסם העליון המספר M, ε שהוא קטן מ M, איננו חסם מלעיל של הסדרה. לכן יש N כך ש a, N > M ε ובגלל המונוטוניות נקבל לכן כי לכל n > N יתקיים.a n a N > M ε מצד שני, בוודאי ש a n M M + ε לכל,n ולכן קבלנו כי a n M < ε לכל.n > N 16

18 דוגמאות. (i) נקבע > 0 c ונגדיר = 1 1 a ובאופן רקורסיבי.a n+1 = a n + c נראה שהסדרה מונוטונית וחסומה, ולכן מתכנסת. לאחר מכן, נחשב את הגבול עפ י חוקי האריתמטיקה. חסימות: הסדרה חסומה מלרע, שכן 0 n a לכל n (זכרו שלוקחים תמיד שורש אי שלילי). נראה באינדוקציה ש a n 1 + c ועל כן היא גם חסומה מלעיל. זה ודאי נכון עבור = 1 n. נניח נכונות הטענה עבור n ואז גם a n+1 = a n + c 1 + c + c = 1 + c < 1 + c כי אי השוויון הראשון נובע מהנחת האינדוקציה ואי השוויון האחרון מהוצאת שורש באי השוויון c).1 + c < 1 + c + c = (1 + n+1 a n a לכל.n זה נכון עבור = 1,n ואם. a n+1 = a n + c a n+1 + c = a n+ מונוטוניות: נראה באינדוקציה כי נניח n+1 a n a נקבל כי:. עפ י המשפט נקבל כי הסדרה מתכנסת לגבול, שנסמנו A, ומכיוון ש 0 n a לכל n נובע שגם 0.A לפי אריתמטיקה של גבולות נקבל ש,A = A + c.a = c והשורש החיובי של המשוואה הריבועית הזו הוא אין להשתמש באריתמטיקה של גבולות על מנת לחשב את הגבול מבלי (ii) לדוגמא, אם = 1 1 a ו לוודא תחילה באופן אחר כי הסדרה אכן מתכנסת. n 1,a n = 1 a אז = 1 n a ל n איזוגי ו = 0 n a ל n זוגי, ולכן הסדרה אינה אולם אם נניח קיום הגבול ונבצע חישובים אריתמטיים כדי לחשב מתכנסת. כי,A = 1 A כלומר, = 1,A שזו כמובן שטות. אותו נקבל כי,A = 1 A כלומר, אותו נקבל כי,A = 1 A כלומר, (iii) נראה שהסדרה a n = (1 + 1 n )n מתכנסת ע י כך שנראה שהיא עולה וחסומה. נסמן את הגבול ב e, ונשים לב שזו ההגדרה של e. אין לנו דרך להגדירו באופן מפורש ע י גדלים אחרים שאנו מכירים, הוא אינו רציונלי ואפילו איננו מספר אלגברי, כלומר, הוא איננו שורש של פולינום עם מקדמים שלמים. ( n) n = n j=0 n j=0 ( ) n 1 j n j = n j=0 1 n j! n n 1 n 1 j! = ! + 1 3! n!... n j + 1 n n 1 = ( 1 )n 1 1 < 3 חסימות: סוף שעה 1 n k לכל k n,0 ובשני n (באי השוויון הראשון השתמשנו בכך ש 1 השתמשנו בהערכה 1 j!j (הוכיחו אותה!). השוויון האחרון הוא הנוסחה.(q = 1 לסכום סדרה גיאומטרית עם 17

19 מונוטוניות: כדי להראות שהסדרה מונוטונית עולה נשתמש ב אי שוויון הממוצעים האומר שאם 0 j b אז 1 m m. b j 1 m b j m j=1 b j = n עבור + 1 n j ו (1 (1 + j=1 נציב באי השוויון + 1 n m = ואת הערכים = 1 1,b ונקבל 1 n+1 1n )n) 1 + n(1 + 1 n ) = n + n + 1 n + 1 = n + 1 וכשנעלה את שני האגפים בחזקת + 1 n נקבל (.a n = 1 + n) 1 n ( ) n+1 = a n+1 n + 1 a. n = n זו בוודאי סדרה מונוטונית עולה כי במעבר מ a n ל j=1 1 j (iv) 1+n a מוסיפים מחובר חיובי. היא גם חסומה, שכן n j=1 n 1 j = 1 + j= n 1 j 1 + j= n 1 j(j 1) = 1 + j= ( 1 j 1 1 ) j (1 1 n +,1 ועפ י המשפט הסדרה מתכנסת. שהוא סכום טלסקופי שערכו < ), π אך ההוכחה דורשת ידע מעבר לחומר של הקורס הזה. 6 למעשה, הגבול הינו חזקות ממשיות. כעת נוכל להסביר כיצד אנו מגדירים a x עבור חזקה ממשית a אם < 1 (ואז,.x וכי > 0 a בדיון נניח כי > 1.(1 a כלשהי (וכאשר > 0 x = 1.(ax אם x = p q רציונלי הגדרנו a = 1 x,a ואם < 0 x מגדירים x (1/a) מגדירים x = q x, p ונראה איך לעבור לחזקות ממשיות כלליות. q כבר x p בהמשך נשתמש באופן חופשי בכך שהיות ו > 1 a אז לכל r < s רציונלים מתקיים.a r < a s תהי r n סדרה לא יורדת של מספרים רציונליים כך ש r. n x למשל, אם... 3 x = m.a 1 a a הוא הפיתוח העשרוני של,x כאשר מספר m שלם ו.r n = m.a 1 a... a n נוכל לקחת,0 a i 9 a r n מונוטונית לא יורדת, והיא גם חסומה: כחסם נשים לב שגם הסדרה מלעיל נוכל לקחת כל מספר מהצורה a r כאשר r > x רציונלי. ע פי משפט.3 a r n גבול, ונגדיר יש לסדרה. a x = lim a rn כדי שההגדרה הזו תהיה טובה יש להראות שהיא אכן תלויה רק ב a וב s n x כלומר, צריך להראות שאם r. n ולא בבחירה (השרירותית) של הסדרה x lim a r n או, במלים אחרות, כי = lim a s n סדרת רציונליים אחרת אז מתקיים.lim ar n a s n = lim a rn sn = 1 18

20 לשם כך נציג 0 n t n = r n s ונשתמש בלמה הבאה:.a t n למה. אם t n סדרת מספרים רציונליים המקיימת 0 n t אז 1 הוכחה. נקבע > 0.ε ראינו ש = 1 n lim a 1 n = lim a 1 ולכן קיים k כך ש, t n < 1 k מתקיים n > N כך שלכל N כעת נבחר.1 ε < a 1 k < a 1 k < 1 + ε ואז נקבל כי 1 ε < a 1 k < a t n < a 1 k < 1 + ε כמבוקש. מסקנה חשובה מהדרך שבה הגדרנו את החזקה היא שאם 1 > a ואם x < y מספרים ממשיים כלשהם אז.a x < a y ואמנם, נבחר r n y כך ש r 1 > x ואז.a y = lim a r n > a r 1 יתקיים כי > a x המונוטוניות הזו מבטיחה שהלמה נשארת נכונה גם אם t n אינם רציונליים, ולכן נקבל שלכל סדרת ממשיים x n המקיימת x n x מתקיים. a x n = a x a xn x a x כמו כן מתקיימים חוקי החזקה הרגילים: ;a x a y = a x+y ; a x b x = (ab) x,(a x ) y = a xy וגם תכונות הסדר: אם > 0 b a > ו > 0 x אז,a x > b x ואם.a x > a y אז x > y ו a > 1 נוכיח לדוגמא ש.a x a y = a x+y נבחר r n x ו,s n y ואז r n + s n x + y ולכן. a x a y = lim a r n lim a s n = lim a r n a s n = lim a r n+s n = a x+y משפט. [הלמה של קנטור] יהיו ] j I j = [α j, β קטעים סגורים כך ש I j+1 I j לכל,j אז j 1=j I. אם גם ארכי הקטעים שואפים לאפס, אז החיתוך מכיל נקודה יחידה. הוכחה. תנאי ההכלה אומר כי לכל j < k מתקיים α j α k β k β j ולכן הסדרה } j α} מונוטונית עולה ו } j β} יורדת. הסדרות גם חסומות, כי הן מוכלות בקטע,I 1 ולכן הן מתכנסות, ונסמן α = lim α j ו.β = lim β j נקבע,j ואז לכל k > j מתקיים ש.α k I j אבל הקטע I j סגור, ולכן גם גבול הסדרה, α, = lim α j נמצא בקטע. (אילו הקטע לא היה סגור, הגבול יכול היה להיות אחד הקצוות שאולי אינו שייך לקטע!). היות וזה נכון לכל j, קבלנו כי α I j לכל,j כלומר α j=1 I j והחיתוך לא ריק. (הוכחה דומה מראה כי גם β 1=j I j ולכן כל הקטע [β,α] מוכל בחיתוך. הראו כתרגיל כי למעשה החיתוך הוא בדיוק הקטע הזה). אם אורכי הקטעים שואפים לאפס, כלומר, אם 0 j,β j α אז α = β וזוהי הנקודה היחידה בחיתוך. (באופן גיאומטרי לא ייתכן שיש שתי נקודות שונות a < b בחיתוך, כי אז האורך של I j היה לפחות > 0 a b לכל,j בניגוד להנחה שהאורכים שואפים לאפס). 19 סוף שעה 14

21 .4 תת סדרות הגדרה. תהא 1=n a} n } סדרה נתונה. תת סדרה של } n a} היא סדרה שאיבריה הם חלק מאיברי } n a} כשהם מופיעים באותו הסדר כמו בסדרה המקורית. נסמן זאת ע י j=1,{a nj } כאשר... < n 1 < n מייצגים את המיקומים בסדרה המקורית של האיבר הראשון, השני, וכו בתת הסדרה. שימו לב שלכל j מתקיים ש n. j j דוגמאות. (i) n. j = j כאן ניקח את האיברים המופיעים במקומות הזוגיים בסדרה } n,{a כלומר,..., 6.a, a 4, a (ii) n. j = j כאן ניקח את האיברים שמופיעים במקומות שהם ריבועים, כלומר,..., 9.a 1, a 4, a הגדרה. גבול חלקי של הסדרה ) n a) הוא גבול של איזשהי תת סדרה שלה. a n = (1 ) n + 1 n אינה מתכנסת, אך יש לה תת סדרות מתכנסות דוגמא. הסדרה ושני גבולות חלקיים שונים = 1 j lim j a ו 1 = j+1.lim j a טענה. אם הסדרה ) n a) מתכנסת לגבול L (סופי או אינסופי), אז גם כל תת סדרה שלה מתכנסת ל L. בפרט, אם יש לסדרה שתי תת סדרות המתכנסות לגבולות שונים, אז היא איננה מתכנסת. הוכחה. נסמן את תת הסדרה ב ) nj a), וצריך להוכיח כי לכל > 0 ε יש J כך שלכל j > J מתקיים. a nj L < ε עפ י ההנחה יש N כך שלכל n > N מתקיים. a n L < ε נבחר,J = N ואז אם j > J אז גם,n j j > J = N ולכן בוודאי ש a nj L < ε כמבוקש. השלימו כתרגיל את ההוכחה למקרה = L. הערה. אפשר לנסח את ההוכחה בעזרת סביבות: הגבול הוא L אםם לכל סביבה של L יש רק מספר סופי של אברי הסביבה הנמצאים מחוץ לסביבה. אך אברי תת הסדרה הם רק חלק מאברי הסדרה המקורית, ולכן בוודאי שיש רק מספר סופי מהם מחוץ לסביבה. הסדרה a n מתכנסת ל L אםם לכל > 0,ε הקטע ε) (L ε, L + מכיל את כל אברי הסדרה פרט אולי למספר סופי מהם. המשפט הבא נותן איפיון דומה ושימושי לגבולות חלקיים. משפט. L הינו גבול חלקי של הסדרה ) n (a אםם לכל > 0,ε הקטע ε) (L ε, L + מכיל אינסוף מאיברי ) n a). 0

22 הוכחה. כיוון אחד ברור: אם a nj L אז כל אברי התת סדרה, פרט אולי למספר סופי מהם נמצאים בקטע, ובפרט יש בו אינסוף a ים. n נניח כעת שהתנאי מתקיים, ונבנה תת סדרה המתכנסת ל L. נבחר n 1 כך ש 1) + L a n1 (L 1, ונמשיך באינדוקציה: אם בחרנו כבר j 1,n 1 <... < n נמצא j 1 n j > n כך ש ) j,a nj (L 1 j, L + 1 וזה אכן אפשרי כי יש אינסוף.(L 1 j, L + 1 j מאברי הסדרה בקטע ) L 1 j < a n j לכל,j אך שני הביטויים הקיצוניים שואפים < L + 1 j קבלנו כי ל,L ולכן גם.a nj L דוגמא. תתי סדרות וגבולותיהם יכולים להיות בעלי מבנה מורכב מאוד. נראה, למשל, שיש סדרה a n כך שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי שלה. לשם כך נסדר את כל המספרים הרציונליים כסדרה שתסומן ב r j (ראו בהמשך איך), ונבדוק שכל מספר ממשי L הוא גבול חלקי של סדרה זו: לכל > 0 ε הקטע L+ε) (L ε, מכיל אינסוף מספרים רציונליים, כלומר אינסוף מאיברי הסדרה, ולכן ע ס משפט L.4 הוא אכן גבול חלקי של הסדרה. סידור הרציונליים כסדרה: לכל מספר רציונלי שונה מאפס יש הצגה כשבר,, m n (לאו דוקא מצומצם), ונזהה את השבר הזה עם הנקודה (n,m) במישור. את נקודות המישור נסדר עפ י סדר כלשהו (למשל, (0,0), אח כ הנקודות השלמות על שפת הריבוע שמרכזו בראשית וצלעו באורך. אח כ הנקודות בריבוע עם צלע באורך 4, וכו ). באופן כזה קבלנו, למעשה, סידור של כל במספרים הרציונליים, כאשר כל אחד חוזר אינסוף פעמים (וכאשר יש גם נקודות שלמות במישור שאינן מתאימות למספרים, אלה הנקודות שעבורן = 0 m, שאליהן אפשר להתאים, למשל, את המספר הרציונלי 1). נסמן סדרה זו ב a. n הסדרה r j תהיה תת הסדרה r j = a nj של a n המתקבלת כאשר מוחקים את המספרים הרציונליים בכל המקומות פרט למופע הראשון שלהם בסדרה. סדרה חסומה אינה חייבת, כמובן, להתכנס, אך תמיד יש לה תת סדרה מתכנסת: משפט. [בולצאנו ויירשטראס] לכל סדרה חסומה ) n a) יש תת סדרה מתכנסת. אם הסדרה איננה חסומה יש לה תת סדרה המתכנסת במובן הרחב: ל + אם אינה חסומה מלמעלה, ול אם אינה חסומה מלמטה. הוכחה. ניתן שתי הוכחות. הוכחה ראשונה: נניח תחילה שהסדרה ) n (a חסומה, ולכן יש קטע ] 0 I = [α 0, β כך ש a n I 0 לכל.n.[ α 0+β 0 מכיוון, β 0 ] ו [α 0, α 0+β 0 נחלק את הקטע I 0 לשני חלקים שווים, ] שכל איברי הסדרה נמצאים ב I, 0 הרי שלפחות באחד משני החצאים של הקטע חייבים להימצא אינסוף מהם. נסמן קטע כזה ב ] 1.I 1 = [α 1, β כעת נחצה את I 1 לשני חלקים שווים. לפחות אחד מהם יכיל שוב אינסוף מאיברי הסדרה, ונסמן קטע זה ב ].I = [α, β נמשיך באותו האופן ונקבל סדרת קטעים ] j I j = α] j, β שכל אחד מהם מכיל אינסוף מאברי הסדרה, וכך ש j 1 I j I לכל.j עפ י הלמה של קנטור j=1 I j.l הרי שהחיתוך מכיל נקודה יחידה,β j α j = β 0 α 0 אינו ריק, והיות ש 0 j 1

23 L הוא גבול חלקי של הסדרה עפ י המשפט הקודם: לכל > 0 ε, אם j מספיק גדול כך ש β j α j < ε אז ε),i j = [α j, β j ] (L ε, L + ועפ י הבחירה הוא מכיל אינסוף מאברי הסדרה! נניח כעת ש ) n a) אינה חסומה מלמעלה. היות שיש אינסוף מאיברי מהסדרה הגדולים מ 1 נוכל לבחור אחד מהם. אם האינדכס שלו הוא n 1 אז קבלנו ש > 1 n1 a. באותו אופן, יש אינסוף מאיברי הסדרה הגדולים מ, ונבחר אחד מהם (עם אינדכס n) > n 1 להיות האיבר השני, ואז > n a. כך נמשיך ונקבל תת הסדרה המקיימת a nj > j לכל,j ולכן = nj.lim j a הוכחה שניה: ההוכחה תנבע מטענה מעניינת בפני עצמה: לכל סדרה אינסופית } n a} יש תת סדרה מונוטונית. משפט בולצאנו ויירשטראס נובע, כמובן, מטענה זו וממשפט.3. הוכחה הטענה: נסמן ונבחין בשתי אפשרויות. S = { n : m > n לכל a m a n } אם S אינסופית, נסמן את אבריה ב a nj ואז עפ י הגדרת S תת הסדרה ) nj a) מונוטונית עולה. אם S סופית, נגדיר באינדוקציה תת סדרה ) nj a) שהיא מונוטונית יורדת ממש. את n 1 נבחר כך ש n 1 > n לכל n. S (יש כזה כי S סופית). נניח שבחרנו כבר את n 1 <... < n k כך ש nj 1 a nj < a לכל,j k ונבחר כעת את k+1 :n היות ש n k > n 1 הרי שבוודאי,n k / S ולכן יש m > n k כך ש.a m < a nk נבחר את 1+k n כאחד מה m ים האלה. משפט. תהי ) n a) סדרה חסומה שיש לה גבול חלקי יחיד. אז הסדרה כולה מתכנסת. הוכחה. נסמן את הגבול החלקי היחיד של הסדרה ב a, וצריך להוכיח שלכל.(a ε, a + ε) יש רק מספר סופי מאיברי הסדרה מחוץ לקטע ε > 0 ואכן, אילו היו אינסוף אברים כאלה, אז לתת הסדרה החסומה ) nj a) של ע ס משפט בולצאנו ווירשטראס תת סדרה מתכנסת, היתה, כל ה a ים n האלה.a njk b אבל a njk a ε לכל,k ולכן גם בגבול, b a ε בניגוד להנחת המשפט ש a הגבול החלקי היחיד. הגדרה. תהי a n סדרה חסומה ונסמן { }. L = l : הוא גבול חלקי של הסדרה l סוף שעה 16

24 הקבוצה L חסומה וע ס משפט בולצאנו ויירשטראס היא אינה ריקה, לכן יש לה חסם עליון. לחסם העליון הזה נקרא הגבול העליון של הסדרה a, n ונסמנו ב lim sup a n או.lim a n או lim inf a n הגבול התחתון מוגדר באופן דומה ויסומן ב.lim a n a n = ( 1) n + 1 n יש שני גבולות חלקיים. הגבול דוגמאות. (i) ראינו שלסדרה העליון שלה הוא 1 והתחתון 1. (ii) נסמן ב s n את סדרת המספרים הרציונלים ב (1,0). (זוהי תת הסדרה של הסדרה r j של כל המספרים הרציונלים). אז כל מספר 1 L 0 הוא גבול חלקי של הסדרה s, n והגבול העליון שלה הוא 1. משפט. גם הגבול העליון של סדרה a n הוא בעצמו גבול חלקי שלה. כלומר { }. lim sup a n = max l : הוא גבול חלקי של הסדרה l הוכחה. נסמן את הגבול העליון ב L ונראה שלכל > 0 ε יש אינסוף מאברי הסדרה בקטע (ε L).,ε L + ואמנם, נשתמש בהגדרת הסופרמום ונמצא גבול (l ε, l + ε ) ואז יש איסוף מאברי הסדרה בקטע,L ε חלקי l כך ש l L המוכל בקטע ε).(l ε, L + הערות. (i) יש להיזהר: הגבול העליון והגבול התחתון אינם מקיימים את חוקי האריתמטיקה של גבולות. למשל, = 1 n+1 lim sup ( 1) n = lim sup ( 1) אבל.lim sup[( 1) n + ( 1) n+1 ] = 0 כללי הסדר כן נשמרים. הוכיחו כתרגיל שאם a n b n לכל n פרט אולי למספר סופי מהם, אז lim sup a n lim sup b n וגם.lim inf a n lim inf b n (ii) סדרה החסומה ) n (a מתכנסת אםם.lim inf a n = lim sup a n ואמנם, התנאי מתקיים אםם יש לסדרה גבול חלקי יחיד, וזה גם התנאי להתכנסות. ניתן כעת נוסחה מפורשת לגבול העליון של הסדרה a. n משפט. בהנתן m נסמן m}.b m = sup {a n : n > אז הגבול העליון של הסדרה ניתן ע י. b = lim sup a n = inf {b m } הוכחה. נראה תחילה ש b הוא באמת גבול חלקי. הסדרה b m מונוטונית יורדת וחסומה, ולכן היא מתכנסת וגבולה הוא,inf b m כלומר b. נקבע ε ונראה שיש אינסוף a ים n בקטע ε).(b ε, b + b M מוגדר כ m},sup {a n : n > היות ש.b M ואכן, עפ י הגדרת b כאינפימום יש M כך ש < b + ε נקבל כי a n b M < b + ε לכל.n > M מצד שני, נראה שיש אינסוף a ים n עם n > M כך ש a. n > b ε ואמנם, אילו היה רק מספר סופי מהם, אז היינו יכולים למצוא N כך ש a n b ε לכל,n > N כלומר b ε היה חסם מלעיל לקבוצה N}.{a n : n > b N הוא החסם העליון של קבוצה זו והיינו מקבלים כי b, N b ε בסתירה לכך ש b m b לכל m. אבל כדי להראות כי L b לכל גבול חלקי L נקבע > 0.ε הראינו לעיל שיש M כך ש a n b M < b + ε לכל L. b שרירותי הרי שבהכרח ε והיות ש L, b + ε לכן גם כל גבול חלקי יקיים כי n. > M 3

25 הערות. (i) כתבו כתרגיל את הנוסחה המפורשת עבור.lim inf a n (ii) המשפט נותן הוכחה חדשה למשפט בולצאנו ווירשטראס: קיום הנוסחה המפורשת לגבול העליון מבטיח שלכל סדרה חסומה יש גבולות חלקיים, כלומר שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת..5 סדרות קושי a n = n (1 ) j מתכנסת? אין לנו הכלים הדרושים על מנת j=0 j! האם הסדרה לענות על שאלה זו: הסדרה איננה מונוטונית, ואנו לא מסוגלים לנחש מהו הגבול המיועד (בהנחה שבכלל קיים גבול). ההגדרה הבאה והמשפט שאחריה ייתנו אפיון לסדרות מתכנסות ללא כל התייחסות לגבול שלהן. הגדרה. סדרה ) n a) נקראת סדרת קושי (או סדרה המקיימת את תנאי קושי) אם לכל. a n a m < ε מתקיים ש n, m N טבעי כך שלכל N קיים ε > 0 חשוב להדגיש שתנאי קושי מתייחס לכל,m n > N ואי אפשר להסתפק בכך ש 0 n a, 1+n a כלומר שהמרחק בין אברים עוקבים שואף לאפס. למשל,.k, k + 1 k, k + k נגדיר סדרה ב בלוקים : בבלוק ה k י יהיו המספרים + 1 k,..., 1 k (או אפס) כאשר n גורר ש,k ולכן ואז a n+1 a n הוא מהצורה 0 n.a n+1 a אבל אם a n בבלוק ה k י אז k.a n (ציירו!). משפט. כל סדרת קושי היא חסומה. הוכחה. נקבע N כך שמתקיים < 1 m a n a לכל.n, m N בפרט, לכל n N יתקיים כי + 1 N, a N 1 a n a ולכן גם. min {a 1,..., a N 1, a N 1} a n max {a 1,..., a N 1, a N + 1} משפט. סדרה ) n a) מתכנסת אםם היא סדרת קושי. הוכחה. נניח ש a n a ונראה שזו סדרת קושי. n, m N אם. a n a < ε יהי > 0 ε ונקבע N כך שלכל n N מתקיים נקבל כי. a n a m a n a + a a m < ε + ε = ε להיפך, נניח שהסדרה מקיימת את תנאי קושי. על סמך המשפט הקודם היא חסומה, ולכן על סמך משפט בולצאנו ווירשטראס, יש לה תת סדרה מתכנסת. נניח ש a nk a ונראה שלמעשה הסדרה כולה מתכנסת ל a. a n a m < ε לכל.n, m N נקבע K כך ש יהי > 0 ε ונקבע N כך ש, a nk a < ε ואז n K N וכך ש. a n a a n a nk + a nk a < ε + ε = ε 4

26 a n = n (1 ) j ונראה כי זוהי סדרת קושי (ולכן היא j=0 j! דוגמא. נחזור לדוגמא מתכנסת). נקבע > 0 ε כלשהו ו.m > n נשתמש באי השוויון הפשוט j 1 j! ובנוסחה = 1 q ונקבל שאם, N > ε ואם m > n N אז לטור גיאומטרי סופי עם סוף שעה 18 a m a n = m j=n+1 ( 1) j j! m j=n+1 1 m j! j=n+1 1 j 1 n 1 (1/)m n = < n+1 < ε 1 (1/) הערות. (i) זוהי דוגמא טיפוסית לשימוש בתנאי קושי: הוכחנו שהגבול קיים מבלי שהיינו צריכים לפתח במקביל שום שיטה לחישוב ערכו. (בהמשך הקורס נראה כי הגבול הוא e/1). (ii) העובדה שסדרה מתכנסת היא סדרת קושי היא מאוד אינטואיטיבית, כי אם אברי הסדרה קרובים למספר קבוע L, אז הם בהכרח קרובים זה לזה. הכיוון ההפוך יותר עדין (ואכן השתמשנו בבולצאנו ווירשטראס) למרות שגם הוא אינטואיטיבי: הוא אומר שלא ייתכן שאברי הסדרה יהיו קרובים זה לזה בלי שהדבר ינבע מזה שהם כולם קרובים לאיזשהו מספר קבוע..6 הלמה של היינה בורל הגדרה. תהי A קבוצה חלקית של R ותהי Σ משפחה של קטעים. נאמר ש Σ מכסה,A I Σ כלומר, אם לכל a A יש I Σ כך את A (או שהיא כיסוי של A) אם I ש.a I אם כל איברי Σ הם קטעים פתוחים נאמר ש Σ הוא כיסוי פתוח של A. אם תת משפחה Σ Σ מכסה אף היא את A נאמר ש Σ היא תת כיסוי. אם גם Σ סופית, נאמר שהיא תת כיסוי סופי. למשל, n,m>0 Σ = {( 1 n, ); ( 1, 1 m )} היא כיסוי פתוח של הקטע הסגור 1] [0, ( 1 8 ), {( 1, 1 = Σ תת כיסוי סופי שלו. ו )}, לעומת זאת Σ =,n)} {(+n n Z היא כיסוי פתוח של כל R שאין לו תת כיסוי סופי. 5

27 משפט.[הלמה של היינה בורל] יהי Σ כיסוי פתוח של קטע סגור, אז יש לו תת כיסוי סופי. נשים לב שהנחות המשפט חיוניות. 0<n Σ = )} 1 n, {( היא כיסוי פתוח של Σ = {[ 1, 0], [ 1 n היא כיסוי שאיננו פתוח של הקטע החצי פתוח [1,0) ו {[1, [1,0] ובשני המקרים אין תת כיסוי סופי. הוכחה. נניח בשלילה שאין זה כך, ונשתמש בלמה של קנטור. נסמן ב ] 0 [a 0, b = 0 את הקטע הסגור הנתון. נחצה את 0 לשני חצאים, ואז Σ מכסה את כל אחד משני החצאים. על פי הנחת השלילה, לפחות אחד מהם אינו ניתן לכסוי ע י תת משפחה סופית של Σ, ונסמן חצי כזה ב [ a] 1, b 1 = 1. נמשיך ונחלק לשניים, ובאופן כזה נקבל באינדוקציה סדרה של קטעים סגורים ] n n = [a n, b שאין להם תת כיסוי סופי מתוך Σ וכך ש n 1. n האורך. b 0 a 0 של n n הוא על סמך הלמה של קנטור, יש נקודה c כך ש c n לכל n, והיות ש Σ כיסוי של, 0 יש I Σ כך ש.c I הקטע I פתוח, ולכן יש > 0 δ כך שהקטע (δ c),δ c + מוכל כולו ב I, ונבחר. b 0 a 0 מאחר ש c n נקבל שמתקיים < δ כך ש n n. n (c δ, c + δ) I כלומר, מצאנו ל n תת כיסוי סופי (המכיל, למעשה, איבר יחיד, הקטע I), וזו סתירה לאופן הבחירה של. n הערה. שלושת המשפטים: הלמה של קנטור, משפט בולצאנו ווירשטראס והלמה של היינה בורל הם קרובי משפחה, ובדר כ אפשר להשתמש באחד במקום באחר. נראה, למשל, איך משפט בולצאנו ווירשטראס עצמו נובע בקלות מהלמה היינה בורל. הוכחה נוספת למשפט בולצאנו ויירשטראס. תהי ) n a) סדרה חסומה, כך ש a a n b לכל n ונניח בשלילה שאין לה תת סדרה מתכנסת. בפרט אין לה גבולות חלקיים, ולכן לכל [b x,a] יש סביבה I x המכילה רק מספר סופי של איברי.a n כל I x כזה הוא קטע פתוח, והמשפחה b} Σ = {I x : a x מהווה כיסוי פתוח של [b,a]. על סמך הלמה של היינה בורל יש לכיסוי זה תת כיסוי סופי. Σ = {I x1,..., I xn } אבל כל I xj כזה מכיל רק מספר סופי של אברים מהסדרה ) n a), ויש מספר סופי N מכיל מספר סופי של אברים מהסדרה. אך, j=1 I x j של I ים, xj ולכן האיחוד האיחוד מכיל את כל [b,a], ולכן גם את כל אינסוף אברי הסדרה! דוגמא. לסיום הסעיף נשתמש בלמה של היינה בורל כדי להוכיח את קיומו של מספר אי רציונלי. יהי 1=n r) n ) סידור של הרציונלים בקטע [1,0]. לכל n נסמן ב I n את הקטע הפתוח שמרכזו ב r n וארכו,1/ n ונסמן n=1.σ = {I n } 6

28 זהו אוסף של קטעים פתוחים המכיל את כל המספרים הרציונלים בקטע [1,0], ונראה שהוא איננו כיסוי של הקטע. זה יראה שיש מספר ב [1,0] שאיננו, ולכן מספר זה חייב להיות אי רציונלי! נמצא ב n=1 I n נניח אם כן ש Σ כן כיסוי. עפ י הלמה של היינה בורל היה אז תת כיסוי סופי } nk,{i n1,..., I אבל האורך הכולל של k הקטעים האלה הוא k j=1 1 n j < 1 ולכן אינם יכולים לכסות קטע שארכו 1..7 קבוצות פתוחות וסגורות סוף שעה 0 הגדרה. תהי E. R נקודה a R נקראת נקודת הצטברות של E אם כל סביבה של.b a כך ש b E מכילה לפחות נקודה אחת a למשל, קבוצת נקודות ההצטברות של (1,0) היא הקטע הסגור [1,0]. טענה. אם a נקודת הצטברות של E אז יש סדרת נקודות a n E כך ש a n a לכל E. מכילה אינסוף נקודות של a בפרט כל סביבה של a. n a וכך ש n הוכחה. נגדיר את a n באינדוקציה. נבחר a 1 באופן שרירותי, ואם כבר בחרנו את n 1 a 1,..., a נסמן. ε n = min{ 1 n, a 1 a,..., a n 1 a } היות ש a נקודת הצטברות של E אז הקטע ) n (a ε n, a + ε מכיל נקודה. a n a 1 n כי 0 a n a ואז.a a n E הגדרה. תהי E. R נקודה a E נקראת נקודה מבודדת של E אם יש סביבה של a שאינה מכילה אף נקודה מ E השונה ממנה. { 1 = E מבודדות ונקודת ההצטברות לדוגמא, כל נקודות הקבוצה 1} n n : היחידה של E היא 0. הוכחת המשפט הבא דומה להוכחה של המשפט על סדרות חסומות ולא ניתן אותה. משפט.[בולצאנו ווירשטראס] אם E אינסופית וחסומה, אז יש לה נקודת הצטברות. 7

29 הגדרה. (i) שלה. קבוצה E R נקראת סגורה אם היא מכילה את כל נקודות ההצטברות (ii) נקודה a U נקראת נקודה פנימית של U אם יש סביבה של a המוכלת כולה ב.(a ε, a + ε) U כך ש ε כלומר, יש > 0.U U. יש סביבה המוכלת כולה ב a U נקראת פתוחה אם לכל U R קבוצה (iii) כלומר, כל a U היא נקודה פנימית של U. (ii) דוגמאות. (i) קטע סגור הוא קבוצה סגורה, קטע פתוח הוא קבוצה פתוחה וקטע חצי פתוח אינו קבוצה פתוחה ואינו קבוצה סגורה. (iii) כל קבוצה סופית היא סגורה. סדרה מתכנסת ביחד עם גבולה היא קבוצה סגורה. המשפט הבא מכליל את דוגמא.(iii) משפט. אם E היא קבוצת נקודות ההצטברות של,E אז E E סגורה. ל E E נקרא הסגור של E, ונסמן אותו ב E. הוכחה. ברור ש E מכילה את נקודות ההצטברות E של E, ונראה שגם נקודות ההצטברות של E מוכלות ב.E תהי a נקודת הצטברות של E ונקבע > 0 ε ואז הקטע ε) (a ε, a + מכיל נקודה E.a b זה קטע פתוח, ולכן יש > 0 δ כך ש δ) (b δ, b + מוכל כולו ב ε).(a ε, a + נבחר את δ כך שגם b.δ < a היות ש E b, אז יש בקטע זה נקודה c, E ועפ י הבחירה ברור ש c. a U) i ) i I אוסף של קבוצות פתוחות גם אז i I U i פתוחה. אם I סופית, אז טענה. אם גם i I U i פתוחה. הוכחה. נוכיח רק את החלק השני (ובדקו שהוא בדר כ אינו נכון אם I אינסופית). אם a בחיתוך, נמצא > 0 i ε כך ש,(a ε i, a + ε i ) U i ונבחר.ε = min ε i.(a ε, a + ε) N אז i=1 U i משפט. E סגורה אםם U = R\E פתוחה. הוכחה. נניח ש E סגורה, ותהי a, U כלומר, a. E היות ש E סגורה, a איננה נקודת הצטברות שלה, ולכן יש סביבה a+ε) (a ε, של a שאינה מכילה אף נקודה של E (נזכור ש a עצמה אינה נקודה של.(E כלומר, (a ε, a + ε) U ומצאנו סביבה של a המוכלת כולה ב U. להפך, נניח ש U פתוחה, ותהי a נקודת הצטברות של E. צריך להוכיח ש.a E ואמנם, אחרת a U והיות ש U פתוחה יש סביבה ε) (a ε, a + של a המוכלת כולה ב U. זוהי סביבה של a שאינה מכילה אף נקודה של E, בסתירה להנחה ש a היא נקודת הצטברות של E. 8

30 טענה. אם E) i ) i I קבוצות סגורות אז גם i I E i קבוצה סגורה. אם I קבוצה סופית אז גם האיחוד סגור. הוכחה. הוכיחו כתרגיל בשתי דרכים. האחת עפ י ההגדרה של קבוצה סגורה, והשניה כמסקנה מטענה.7 ומכללי דה מורגן: האיחוד של המשלימים הוא המשלים של החיתוך והחיתוך של המשלימים הוא המשלים של האיחוד. חלק מהמשפטים שהוכחנו לקטעים סגורים ופתוחים ניתן להכללה לקבוצות פתוחות או סגורות כלשהן. ראינו, למשל, את משפט בולצאנו ווירשטראס, ואפשר גם להכליל את הלמה של קנטור ואת הלמה של היינה בורל. בדקו כתרגיל שההוכחות שנתנו (בשינויים קלים מתחייבים) מוכיחות גם את הגרסאות הכלליות האלה. משפט. (i) [הלמה של קנטור] אם E i קבוצות סגורות וחסומות כך ש...,E 1 E אז i E. (ii) [הלמה של היינה בורל] אם E קבוצה סגורה וחסומה, אז לכל כיסוי שלה ע י קבוצות פתוחות יש תת כיסוי סופי. 9

31 פרק 3 גבולות של פונקציות 3.1 פונקציות בהנתן שתי קבוצות A ו B אז פונקציה f מ A ל B היא התאמה המתאימה לכל איבר ב A איבר יחיד ב B. נסמן פונקציה f מ A ל B ע י.f : A B לקבוצה A נקרא תחום ההגדרה (או פשוט התחום) של f, ול B נקרא הטווח שלה. נשתמש בסימון f(x) = y כדי לציין שהפונקציה f מתאימה לאיבר x A את האיבר y. B נאמר שהנקודה y היא התמונה של הנקודה x, והנקודה x נקראת המקור של y. דוגמאות. (i) פונקציה יכולה להנתן ע י נוסחה מפורשת פשוטה כמו, למשל, + 4 3x f(x) = או h(x) = tan x (שתחום הגדרתה הוא כל הישר הממשי פרט.( π לכפולות האי זוגיות של (ii) פונקציה יכולה להיות מוגדרת גם ע י הסבר מילולי, למשל פונקצית הערך השלם [x] G(x) = מתאימה לכל מספר x את המספר השלם הגדול ביותר שאינו עולה על.x למשל = 3 [π] או 3 =.[.5] אפשר לתאר זאת גם ע י נוסחה: לכל מספר שלם n הערך השלם של כל הנקודות x בקטע 1) + n [n, הוא.n (iii) הפונקציה ב (ii) היא דוגמא לפונקציה המוגדרת ע י נוסחאות שונות בקטעים שונים. דוגמאות אחרות: { { x x 0 x 4 x 0 x = ; F (x) = x x < 0 sin x x < 0 נשתמש באופן שוטף במונחים הבאים: תמונה: כשנתונה f : A B אז לא בהכרח כל נקודה y B מתקבלת כערך של הפונקציה.f לדוגמא, הפונקציה f : R R המוגדרת ע י f(x) = x מקבלת רק ערכים אי שליליים. 30

32 התמונה של f היא תת הקבוצה של הטווח B המכילה רק את האברים שהותאמו בפועל לאיברים ב A, כלומר זוהי הקבוצה { f(x) : x A } = { y B : x A לאיזשהו y = f(x) } על: נאמר שפונקציה f : A B היא על אם התמונה של f היא כל הטווח B. כלומר, אם לכל y B קיים x A כך ש.f(x) = y גרף: הגרף של הפונקציה f הוא קבוצת הנקודות (y,x) במישור כך ש f(x) y. = חד חד ערכית: נאמר ש f : A B היא חד חד ערכית (ובקיצור חח ע) אם לכל איבר בתמונה יש מקור יחיד, כלומר, אם לכל x 1 x ב A מתקיים שגם.f(x 1 ) f(x ) מונוטוניות: נאמר שפונקציה f היא עולה אם לכל a > b ב A מתקיים ש.f(a) > f(b) מתקיים ש a > b עולה ממש אם לכל f הפונקציה.f(a) f(b) באופן דומה מגדירים פונקציה יורדת ופונקציה יורדת ממש. נאמר ש f מונוטונית אם היא מקיימת איזשהו תנאי מהתנאים האלה. כל פונקציה מונוטונית ממש היא, כמובן חח ע. חסימות וחסמים של פונקציות מוגדרים כמו עבור קבוצות: משתמשים בתמונה f(a) של f כקבוצה בהגדרה. הגדרה. פונקציה f : A B נקראת חסומה מלמעלה (או חסומה מלעיל) ב A אם קיים מספר ממשי M כך שלכל x A מתקיים.f(x) M כל M כזה נקרא חסם מלעיל של הפונקציה ב A. החסם המלעילי הקטן ביותר נקרא החסם העליון (או הסופרמום) של f ב A, ואם הוא מתקבל, כלומר אם יש x 0 כך שהסופרמום הוא ) 0,f(x אז נקרא לו המכסימום של הפונקציה f ב A. באופן דומה, מגדירים פונקציה חסומה מלמטה (מלרע), חסם תחתון (אינפימום) ומינימום ב A. נשתמש בסימונים כגון f.max x A f(x) או inf{f(x) : x A},sup A נאמר f חסומה ב A אם היא חסומה גם מלמעלה וגם מלמטה, כלומר כשיש מספרים M ו m כך שלכל x A מתקיים m f(x) M (או, באופן שקול, אם קיים מספר M כך שלכל x A מתקיים.( f(x) M לדוגמא, הפונקציה f(x) = x אינה חסומה, והפונקציה g(x) = sin x כן חסומה, מכיוון שלכל x מתקיים 1. g(x) הערה. מושג הפונקציה שהגדרנו הוא מאוד כללי, ויש פונקציות שאיננו יכולים לדמיין את הגרף שלהן. הפונקציה הבאה, למשל, איננה חסומה באף קטע! { כאשר x אי רציונלי 0 f(x) = כאשר x = m n רציונלי והשבר מצומצם עם 0 m m לצידן של פונקציות פתולוגיות כאלה יש גם פונקציות מאוד רגילות ומוכרות שנקרא להן הפונקציות האלמנטריות ושאותן נתאר כעת. 31

33 הפונקציות האלמנטריות..f(x) = a 0 +a 1 x+...+a n x n = n j=0 a jx j פולינום הוא פונקציה מהצורה (a) אם 0 n a נאמר שהפולינום הוא ממעלה (או דרגה) n ונסמן.deg(f) = n תחום ההגדרה של פולינום הוא כל הישר R. כאשר =,0,1 n מקבלים, בהתאמה, קבועים, פונקציות לינאריות ופונקציות ריבועיות. התמונה של פולינום היא כל הישר (כאשר n אי זוגי) או חצי ישר (כאשר n זוגי). (b) פונקציה רציונלית היא מנה p(x)/q(x) f(x) = כאשר,p q פולינומים. תחום ההגדרה הוא כל R פרט לנקודות בהן q מתאפס (ואם deg(q) = n אז יש לכל היותר n נקודות כאלה)..f(x) = a x היא a הפונקציה המעריכית עם בסיס,(a 1) קבוע a עבור > 0 (c) הפונקצות המעריכיות מוגדרות לכל x ומקיימות את הזהויות a x+y = a x a y ו.(a x ) y = a xy הן עולות כאשר > 1 a ויורדות כאשר < 1 a <.0 תחום ההגדרה הוא כל הישר R והתמונה היא הקרן + R. כאשר a = e נשתמש לפעמים במינוח הפונקציה המעריכית (או הפונקציה האכספוננציאלית) ונכתוב אותה לפעמים בצורה.exp(x).cot x,tan x,cos x,sin x הפונקציות הטריגונומטריות (d) בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי משתמשים ברדיאנים כיחידות של המשתנה בפונקציות הטריגונומטריות (ולא במעלות), ונזכיר תחילה מהם. סוף שעה הגדרה. זווית היא בת α רדיאנים אם אורך הקשת שהיא חוסמת במעגל ברדיוס 1 היא.α A 1 AB = α O B < AOB = α גודל הזווית ברדיאנים הוא כמובן פרופורציונלי לגדלה במעלות α α. rad = C כדי לקבוע את המקדם C נשתמש בכך שהיקף מעגל ברדיוס 1 הוא π והוא C = π ומקבלים את מתאים לזווית בת,360 כלומר, 360 C.π = ולכן 360 הנוסחה. α rad = π 360 α להגדרות ופרטים על הפונקציות הטריגונומטריות ראו ב הכנה טובה לטכניון. כאן נזכיר רק מספר נוסחאות שימושיות: 3

34 sin x + cos x = 1 sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x sin x sin y = sin x y cos x cos y = sin x y tan( π x) = 1 tan x cos x + y sin x + y לפני שנוכל להגדיל את רשימת הפונקציות האלמנטריות נצטרך מספר מושגים נוספים על פונקציות. פעולות על פונקציות פעולות אריתמטיות: נגדיר פעולות אריתמטיות (חיבור חיסור וכו ) על פונקציות בעזרת הפעולות האלה על מספרים ממשיים. בהנתן שתי פונקציות f ו g שיש להן תחום הגדרה משותף, נגדיר פונקציה חדשה f, + g המוגדרת אף היא באותו התחום, ע י הנוסחה (f + g)(x) = f(x) + g(x) לכל x בתחום. לדוגמא, x + sin x היא הסכום של שתי הפונקציות x ו.sin x באופן דומה מגדירים הפרש, מכפלה ומנה של שתי פונקציות ע י ( ) f (f g)(x) = f(x) g(x) ; (fg)(x) = f(x)g(x) ; (x) = f(x) g g(x) כאשר תחום ההגדרה של פונקצית המנה מכיל רק את ה x ים בהם 0.g(x) הרכבה: זוהי פעולה מיוחדת לפונקציות. תהיינה g : A B ו f : B C (כלומר התמונה של g מוכלת בתחום ההגדרה של f). אז ההרכבה שלהן מסומנת ב f, g והיא מוגדרת ע י הנוסחה (f g)(x) = f(g(x)) כלומר.f g : A C לדוגמא, אם f(x) = sin x ו,g(x) = x אז (f g)(x) = f(g(x)) = f(x ) = sin(x ) בדרך כלל,f g g f למשל בדוגמא שנתנו ).(g f)(x) = (sin x) sin(x הפונקציה ההפוכה: אם f : A B היא חח ע ועל, אז לכל y B יש x A יחיד כך ש.f(x) = y הפונקציה ההפוכה ל f, שתסומן ב 1 f, היא הפונקציה מ B ל A המתאימה לכל y B את אותו x A יחיד. לדוגמא, f : R R המוגדרת ע י f(x) = x 3 היא חח ע על. לכל y R יש.f 1 (y) = 3 y ולכן הפונקציה ההפוכה היא,x 3 = y כך ש (x = 3 y) יחיד x R 33